过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点的切线相交于P，则S△PABmin=（）A.16B.8C.4D.2

Question

过抛物线y²=4x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点的切线相交于P，则S_△PABmin=（　　）

A. 16

B. 8

C. 4

D. 2

Answer 1

抛物线y²=4x焦点为（1，0），
设抛物线y²=4x的点（m，n），
由2yy′=4，即有y′=(2)/(y)，
即切线的方程为y-n=(2)/(n)（x-m），
由于n²=4m，即有ny=2（m+x）．
若直线l：x=1，则交点A（1，2），B（1．-2），
则过A、B的切线方程分别为y-2=x-1和y+2=-（x-1），
即有PA⊥PB，则△ABP为直角三角形；
若直线AB的斜率为k，即有AB：y=k（x-1），（k≠0），
联立y²=4x，消去x，可得(k)/(4)y²-y-k=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁y₂=-4．
则有切线的斜率为(2)/(y1)，(2)/(y2)，
且(2)/(y1)•(2)/(y2)=(4)/(y1y2)=-1，
即有PA⊥PB，则△ABP为直角三角形．
∴由抛物线的几何性质可得，过A，B两点的切线的交点P在抛物线的准线上，
设直线AB与x轴的夹角为θ，由抛物线的性质可得：|AB|=(2p)/(sin2θ)．
且切线交点与弦中点的连线平行于坐标轴，设AB中点为M，
则|PM|=(1)/(2)|AB|=(p)/(sin2θ)．
P到AB的距离为|PM|sinθ=(p)/(sinθ)．
∴S△PAB=(1)/(2)|AB|•(p)/(sinθ)=(p2)/(sin3θ)．
当sinθ=1时，△ABQ的面积有最小值，最小值为p²=4．
故选：C．