向量轴对称一个向量V1（x1,y1）,一个法向量F1（x2,y2）,另一个向量V2和V1关于法向量轴对称,求V2.

Question

向量 轴对称
一个向量V1（x1,y1）,一个法向量F1（x2,y2）,另一个向量V2和V1关于法向量轴对称,求V2.

Answer 1

V1和V2 关于F1对称,则两个向量的模相等,且向量终点连线垂直于法向量,
设向量V2=V2(x1',y1')故有：
||V1=|V2| ==> x1² + y1² = x1'² +y1'²
(V1-V2)*F1 =0 ==> (x1-x1')*x2 + (y1-y1')*y2 = 0
两式联立解得：
(1)
x1'=[2y1*x2*y2 + x1*(x2²-y2²)]/(x2²+y2²)
y1'=[2x1*x2*y2 - y1*(x2²-y2²)]/(x2²+y2²)
或者
(2) x1=x1'；y1=y1'；
当V1 与法向量不共线时,显然不符合题意；舍去
当V1 与法向量共线时,V1=λ*F1,易得V2=λ*V2,(1)中表达式包含该结果.
因此V1(x1,y1) 关于F1(x2,y2)的对称向量为
V2( [2y1*x2*y2 + x1*(x2²-y2²)]/(x2²+y2²),[2x1*x2*y2 - y1*(x2²-y2²)]/(x2²+y2²) )