设X1=a,X2=b,Xn+2=(Xn+1+Xn)/2 设X1=a,X2=b,Xn+2=(Xn+1+Xn)/2 (n=1,2.).证该数列收敛,并求其极限

Question

设 X1=a,X2=b,X n+2=(X n+1+X n)/2   
设
X1=a,X2=b,X n+2=(X n+1+X n)/2   
(n=1,2.).证该数列收敛,并求其极限

Answer 1

X1=a,X2=b,
当a=b时,显然,极限为a
当a≠b时：
由Xn+2=(Xn+1+Xn)/2得
2Xn+2+Xn+1=2Xn+1+Xn
2Xn+1+Xn=2b+a.(1)
由Xn+2=(Xn+1+Xn)/2得
2(Xn+2-Xn+1)=-(Xn+1-Xn)
Xn+1-Xn=(b-a)(-1/2)^(n-1).(2)
(1)-(2)×2得：
Xn=[(2b+a)-2(b-a)(-1/2)^(n-1)]/3
当n→∞时Xn→(2b+a)/3
所以,数列{Xn}收敛,其极限为(2b+a)/3