已知实数x1，x2，…，xn（n∈N*且n≥2）满足|xi|≤1（i=1，2，…，n），记S(x1，x2，…，xn)＝1≤i＜j≤nxixj．（Ⅰ）求S(−1，1，−23)及S（1，1，-1，-1）的值；（Ⅱ）当n=3时，求S（x1，x2，x3）的

Question

已知实数x₁，x₂，…，x_n（n∈N^*且n≥2）满足|x_i|≤1（i=1，2，…，n），记S(x1，x2，…，xn)＝

1≤i＜j≤n

xixj．
（Ⅰ）求S(−1，1，−(2)/(3))及S（1，1，-1，-1）的值；
（Ⅱ）当n=3时，求S（x₁，x₂，x₃）的最小值；
（Ⅲ）当n为奇数时，求S（x₁，x₂，…，x_n）的最小值．
注：

1≤i＜j≤n

xixj表示x₁，x₂，…，x_n中任意两个数x_i，x_j（1≤i＜j≤n）的乘积之和．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得S(−1，1，−(2)/(3))＝−1+(2)/(3)−(2)/(3)＝−1．
S（1，1，-1，-1）=1-1-1-1-1+1=-2．       …（3分）
（Ⅱ）n=3时，S＝S(x1，x2，x3)＝

1≤i＜j≤3

xixj＝x1x2+x1x3+x2x3．
固定x₂，x₃，仅让x₁变动，那么S是x₁的一次函数或常函数，
因此S≥min{S（1，x₂，x₃），S（-1，x₂，x₃）}．
同理S（1，x₂，x₃）≥min{S（1，1，x₃），S（1，-1，x₃）}．
S（-1，x₂，x₃）≥min{S（-1，1，x₃），S（-1，-1，x₃）}．
以此类推，我们可以看出，S的最小值必定可以被某一组取值±1的x₁，x₂，x₃所达到，
于是S≥min{S（x₁，x₂，x₃）}．
当x_k=±1（k=1，2，3）时，S＝(1)/(2)[(x1+x2+x3)2−(

x

2 1

+

x

2 2

+

x

2 3

)]=(1)/(2)(x1+x2+x3)2−(3)/(2)．
因为|x₁+x₂+x₃|≥1，
所以S≥(1)/(2)−(3)/(2)＝−1，且当x₁=x₂=1，x₃=-1，时S=-1，
因此S_min=-1．                  …（7分）
（Ⅲ）S＝S(x1，x2，…，xn)＝

1≤i＜j≤n

xixj=x₁x₂+x₁x₃+…+x₁x_n+x₂x₃+…+x₂x_n+…+x_n-1x_n．
固定x₂，x₃，…，x_n，仅让x₁变动，那么S是x₁的一次函数或常函数，
因此S≥min{S（1，x₂，x₃，…，x_n），S（-1，x₂，x₃，…，x_n）}．
同理S（1，x₂，x₃，…，x_n）≥min{S（1，1，x₃，…，x_n），S（1，-1，x₃，…，x_n）}．
S（-1，x₂，x₃，…，x_n）≥min{S（-1，1，x₃，…，x_n），S（-1，-1，x₃，…，x_n）}．
以此类推，我们可以看出，S的最小值必定可以被某一组取值±1的x₁，x₂，…，x_n所达到，
于是S≥min{S（x₁，x₂，x₃，…，x_n）}．
当x_k=±1（k=1，2，…，n）时，
S＝(1)/(2)[(x1+x2+…+xn)2−(

x

2 1

+

x

2 2

+…+

x

2 n

)]=(1)/(2)(x1+x2+…+xn)2−(n)/(2)．
当n为奇数时，因为|x₁+x₂+…+x_n|≥1，
所以S≥−(1)/(2)(n−1)，另一方面，若取x1＝x2＝…＝x(n−1)/(2)＝1，x(n−1)/(2)+1＝x(n−1)/(2)+2＝…＝xn＝−1，
那么S＝−(1)/(2)(n−1)，
因此Smin＝−(1)/(2)(n−1)．…（13分）