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I=∬4xzdydz-2yzdzdx+(1-z^2)dxdy,其中∑是曲线z=e^y(0≤y≤a)绕z轴旋转生成的旋转面,取下侧采用高斯公式,可是算出了∫∫∫0dv了.

题目详情
I=∬4xzdydz-2yzdzdx+(1-z^2)dxdy,其中∑是曲线z=e^y(0≤y≤a)绕z轴旋转生成的旋转面,取下侧
采用高斯公式,可是算出了∫∫∫0dv了.
▼优质解答
答案和解析
曲线z=e^y绕z轴旋转一周后为一旋转体,z的范围是z:0→e^a,
由于曲面不封闭,首先被为封闭曲面
补Σ1:z=e^a,x²+y²≤a²,上侧
∫∫(Σ+Σ1) 4xzdydz-2yzdxdz+(1-z²)dxdy
高斯公式
=∫∫∫ (4z-2z-2z) dxdydz
=0

下面计算补的平面上的积分:
∫∫Σ1 4xzdydz-2yzdxdz+(1-z²)dxdy
=∫∫ [1-e^(2a)] dxdy
=[1-e^(2a)]πa²

因此原积分=0 - [1-e^(2a)]πa² = [e^(2a)-1]πa²

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