已知正数x，y，z满足5x+4y+3z=10．（1）求证：25x24y+3z+16y23z+5x+9z25x+4y≥5；（2）求9x2+9y2+z2的最小值．

Question

已知正数x，y，z满足5x+4y+3z=10．
（1）求证： (25x2)/(4y+3z) +(16y2)/(3z+5x) +(9z2)/(5x+4y) ≥5 ；
（2）求 9 x 2 + 9 y 2 + z 2 的最小值．

Answer 1

（1）根据柯西不等式，得 [(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)][(25 x2)/(4y+3z) +(16 y2)/(3z+5x) +(9 z2)/(5x+4y) ] ≥（5x+4y+3z） ²
因为5x+4y+3z=10，所以 (25 x2)/(4y+3z) +(16 y2)/(3z+5x) +(9 z2)/(5x+4y) ≥(102)/(20) =5 ．
（2）根据均值不等式，得 9 x 2 + 9 y 2 + z 2 ≥2

9 x 2 ? 9 y 2 + z 2

=2? 3 x 2 + y 2 + z 2 ，
当且仅当x ² =y ² +z ² 时，等号成立．
根据柯西不等式，得（x ² +y ² +z ² ）（5 ² +4 ² +3 ² ）≥（5x+4y+3z） ² =100，
即  （x ² +y ² +z ² ）≥2，当且仅当 (x)/(5) =(y)/(4) =(z)/(3) 时，等号成立．
综上， 9 x 2 + 9 y 2 + z 2 ≥2? 3 2 =18 ．