设圆（x-2）2+（y-2）2=4的切线l与两坐标轴交于点A（a，0），B（0，b），ab≠0．（Ⅰ）证明：（a-4）（b-4）=8；（Ⅱ）求线段AB中点M的轨迹方程．

Question

设圆（x-2）²+（y-2）²=4的切线l与两坐标轴交于点A（a，0），B（0，b），ab≠0．

（Ⅰ）证明：（a-4）（b-4）=8；
（Ⅱ）求线段AB中点M的轨迹方程．

Answer 1

（Ⅰ）直线l的方程为(x)/(a)+(y)/(b)＝1，即bx+ay-ab=0．则圆心（2，2）到切线l的距离d=r，
即(|2b+2a−ab|)/(√(b2+a2))＝2⇒ab−4(a+b)+8＝0，∴（a-4）（b-4）=8．---------（6分）
（II）设AB的中点为M（x，y），则

(a)/(2)＝x

(b)/(2)＝y

⇒

a＝2x

b＝2y

，代入（a-4）（b-4）=8，
得线段AB中点M的轨迹方程为（x-2）（y-2）=2（xy≠0）．---------（6分）