一道高中数学题怎么解已知函数fx的定义域为R,对于任意的x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x大于0时,f（x）小于0,若f（-1）=2求证fx为奇函数fx是R上的减函数函数fx在区间-2,4上的值域

Question

一道高中数学题怎么解

已知函数fx的定义域为R,对于任意的x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x大于0时,f（x）小于0,若f（-1）=2

求证fx为奇函数

fx是R上的减函数

函数fx在区间【-2,4】上的值域

Answer 1

根据题目,取x=y=0可知f(0)=f(0)+f(0)
那么f(0)=0
令y=-x,有f(0)=f(x)+f(-x)=0
∴是奇函数
取x2＞x1＞0
有f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)
∵x2-x1＞0,∴f(x2)-f(x1)＜0,也就是在x＞0的范围内函数递减
同理可证在x＜0的范围内,函数也是递减的∴最后函数是递减函数
因为证明出是减函数,∴x=-2时最大,x=4时最小
∵f(-1)=2
∴f(1)=-2,f(2)=2f(1)=-4,f(4)=2f(2)=-8
f(-2)=-f(2)=4
所以所求值域是[-8,4]