高中不等式题：非负实数x,y,z满足：x^2+y^2+z^2+x+2y+3z=13/4,则x+y+z的最小值为?非负实数x,y,z满足x^2+y^2+z^2+x+2y+3z=13/4,则x+y+z的最小值为?（如果用柯西不等式解也可以!）

Question

高中不等式题：非负实数x,y,z满足：x^2+y^2+z^2+x+2y+3z=13/4,则x+y+z的最小值为?
非负实数x,y,z满足x^2+y^2+z^2+x+2y+3z=13/4,则x+y+z的最小值为?
（如果用柯西不等式解也可以!）

Answer 1

由x、y、z均为非负实数知,
2xy+2yz+2zx+2x+y≥0.
将上式与原式相加得,
(x+y+z)²+3(x+y+z)-14/3≥0.
解得x+y+z≥(根号下22-3)/2或x+y+z≤(-根号下22-3)/2.
又x、y、z≥0,
所以所求为(根号下22-3)/2,等号在x=y=0,z=(根号下22-3)/2时取得.