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如图1,已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O(0,0),A(0,n),C(m,0).动点P从点O出发依次沿线段OA,AB,BC向点C移动,设移动路程为z,△OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示.m,n

题目详情
如图1,已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O(0,0),A(0,n),C(m,0).动点P从点O出发依次沿线段OA,AB,BC向点C移动,设移动路程为z,△OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示.m,n是常数, m>1,n>0.
(1)请你确定n的值和点B的坐标;
(2)当动点P是经过点O,C的抛物线y=ax 2 +bx+c的顶点,且在双曲线y= 上时,求这时四边形OABC的面积.
▼优质解答
答案和解析
(1) 从图中可知,当P从O向A运动时,△POC的面积S= mz,
z由0逐步增大到2,
则S由0逐步增大到m,故OA=2,n=2 . 
同理,AB=1,故点B的坐标是(1,2).
(2) ∵抛物线y=ax 2 +bx+c经过点O(0,0),C(m ,0),∴c=0,b=-am,
∴抛物线为y=ax 2 -amx,顶点坐标为( ,- am 2 ).
如图1,设经过点O,C,P的抛物线为 l . 当P在OA上运动时,O,P都在y轴上,这时P,O,C三点不可能同在一条抛物线上, ∴这时抛物线 l 不存在, 故不存在m的值.
当点P与C重合时,双曲线y= 不可能经过P,故也不存在m的值.
当P在AB上运动时,即当0<x 0 ≤1时 ,y 0 =2
抛物线 l 的顶点为P( ,2)
∵P在双曲线y= 上,可得 m=
>2,与 x 0 = ≤1不合,舍去
容易求得直线BC的解析式是:
当P在BC上运动,设P的坐标为 (x ,y ),
当P是顶点时 x = ,故得y = =
顶点P为( ),
∵1< x 0 = <m
∴m> 2,又∵P在双曲线y= 上,于是, × =
化简后得5m -22m+22=0,
解得

与题意 不合,舍去.④
综上所述,满足条件的只有一个值: .
这时四边形OABC的面积= =

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