如图1，已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O(0，0)，A(0，n)，C(m，0)．动点P从点O出发依次沿线段OA，AB，BC向点C移动，设移动路程为z，△OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示．m，n

Question

如图1，已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O(0，0)，A(0，n)，C(m，0)．动点P从点O出发依次沿线段OA，AB，BC向点C移动，设移动路程为z，△OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示．m，n是常数， m＞1，n＞0．
（1）请你确定n的值和点B的坐标；
（2）当动点P是经过点O，C的抛物线y=ax ² +bx+c的顶点，且在双曲线y= 上时，求这时四边形OABC的面积．

Answer 1

(1) 从图中可知，当P从O向A运动时，△POC的面积S= mz，
z由0逐步增大到2，
则S由0逐步增大到m，故OA=2，n=2 . 
同理，AB=1，故点B的坐标是(1，2).
(2) ∵抛物线y=ax ² +bx+c经过点O(0，0)，C(m ，0),∴c=0，b=-am，
∴抛物线为y=ax ² -amx，顶点坐标为( ，- am ² ).
如图1，设经过点O，C，P的抛物线为 l . 当P在OA上运动时，O，P都在y轴上，这时P，O，C三点不可能同在一条抛物线上， ∴这时抛物线 l 不存在， 故不存在m的值.
当点P与C重合时，双曲线y= 不可能经过P，故也不存在m的值.
当P在AB上运动时，即当0<x ₀ ≤1时 ，y ₀ =2
抛物线 l 的顶点为P( ，2)
∵P在双曲线y= 上，可得 m= ，
∵ >2，与 x ₀ = ≤1不合，舍去
容易求得直线BC的解析式是： ，
当P在BC上运动，设P的坐标为 (x ，y )，
当P是顶点时 x = ，故得y = = ，
顶点P为( ， )，
∵1< x ₀ = <m
∴m> 2，又∵P在双曲线y= 上，于是， × = ，
化简后得5m -22m+22=0，
解得 ， ，

与题意 不合,舍去.④
综上所述，满足条件的只有一个值： .
这时四边形OABC的面积= =