已知z∈C，z1=z+2i，z2=z2−i．（1）若z1，z2都是实数，求复数z；（2）在（1）的条件下，若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a取值范围；（3）若z1是纯虚数，且|z1−z2|＝2，

Question

已知z∈C，z₁=z+2i，z₂=(z)/(2−i)．
（1）若z₁，z₂都是实数，求复数z；
（2）在（1）的条件下，若复数（z+ai）²在复平面上对应的点在第四象限，求实数a取值范围；
（3）若z₁是纯虚数，且|z1−z2|＝√(2)，求|z₁+z₂|．

Answer 1

（1）设复数z=a+bi（a，b∈R）．
则z₁=z+2i=a+（b+2）i，z₂=(z)/(2−i)=(a+bi)/(2−i)=((a+bi)(2+i))/((2−i)(2+i))=((2a−b)+(a+2b)i)/(5)=(2a−b)/(5)+(a+2b)/(5)i，
∵z₁，z₂都是实数，∴b+2=0，(a+2b)/(5)=0，解得b=-2，a=4．
∴z=4-2i．
（2）∵复数（z+ai）²=[4+（a-2）i]²=16-（a-2）²+8（a-2）i=12-a²+4a+8（a-2）i在复平面上对应的点在第四象限，∴

−a2+4a+12＞0

8(a−2)＜0

，解得-2＜a＜2．
（3）∵z₁是纯虚数，可设z=mi（m∈R），z₁=（m+2）i（m+2≠0），
z₂=(mi)/(2−i)=(mi(2+i))/((2−i)(2+i))=(−m+2mi)/(5)=−(m)/(5)+(2m)/(5)i．
∵|z1−z2|＝√(2)，∴|(m)/(5)+(m+2−(2m)/(5))i|=√(2)，
∴√(((m)/(5))2+(2+(3m)/(5))2)＝√(2)，
化为m²+6m+5=0，解得m=-1或-5．
当m=-1时，z₁=i，z₂=(1)/(5)−(2)/(5)i，则|z₁+z₂|=|(1)/(5)+(3)/(5)i|=√(((1)/(5))2+((3)/(5))2)=(√(10))/(5)．
当m=-5时，z₁=-3i，z₂=1-2i，则|z₁+z₂|=|1-5i|=√(26)．