等腰三角形两腰所在直线的直线方程分别为x+y-2=0,与x-7y-4=0,原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为如何得到tanθ=∣(k-k1）/(1+k1k）∣tanθ=∣(k2-k）/(1+kk2）∣tanθ=∣(k-(-1)）/(1-k

Question

等腰三角形两腰所在直线的直线方程分别为x+y-2=0,与x-7y-4=0,原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为
如何得到tanθ=∣(k- k1）/(1+ k1k）∣tanθ=∣(k2- k）/(1+ kk2）∣
tanθ=∣(k- (-1)）/(1-k）=∣(k- 1/7）/(1+ k/7）∣
画图可判断k>1/7
可以解出k1=-1/3(舍) k2=3
所以k=3

Answer 1

方法1
1,算出两直线的交点,即等腰三角形的顶点,为(2.25,-0.25)
2,由于原点在另一条边上,即可设另一条边的直线方程为 y=ax,其中a即为踢中所求的支线斜率
3,分别求出y=ax和已知的两条支线的交点
于x+y-2=0相交于(2/(a+2),2a/(a+2))
于x-7y-4=0相交于(4/(1-7a),4a/(1-7a))
4,因为是等腰三角形,所以顶点(2.25,-0.25)到两个交点的距离相等.得到方程
[2.25-2/(a+2)]^2+[-0.25-2a/(a+2)]^2=[2.25-4/(1-7a)]^2+[-0.25-4a/(1-7a)]^2
对于处理此类运算能力强的同学,可以继续算下去.计算量是大的.不过一般情况,或者说理想情况,我一般是用绝对值相等法的.即A^2+B^2=C^2+D^2
我先假设 |A|=|C|,求出a,看是否能满足|B|=|D|
如果不满足,再假设|A|=|D|,如果还不行就只能用基本方法解了.
注意此题中有个陷阱,即a=-1/9要舍去,因为此直线穿过顶点,满足方程,但是不是三角形!
我们集中讨论方法2,因为比较简便
1,与方法1相同,求出顶点(2.25,-0.25)
2,同1,设直线方程为y=ax
3,圆形方程(x-2.25)^2+(y+0.25)^2=r^2,其中r为等腰三角形的腰长!
4,我们关注圆行方程与x+y-2=0和x-7y-4=0的交点,各有两个,我们只要关注在顶点左侧的那两个.因为只有这种情况才是等腰三角形底边通过原点.
与x+y-2=0的交点坐标为(2.25-V2/2*r,-0.25+V2/2*r),V2/2为根号2除以2
同理,与x-7y-4=0的交点坐标为(2.25-7/V50*r,-0.25-1/V50*r),1/V50为1除以根号50.
注意y坐标的符号不同,画个简图我们可以知道,
与x+y-2=0的交点在顶点的左上方,即y坐标上移,要加
与x-7y-4=0的交点在顶点的左下方,即y坐标下移,要减
5,支线的斜率既是通过两个交点求出 (y1-y2)/(x1-x2)
[(-0.25+V2/2*r)-(-0.25-1/V50*r)]/[(2.25-V2/2*r)-(2.25-7/V50*r)]
=(V2/2+1/V50)r/(7/V50-V2/2)r
=(V2/2+1/V50)/(7/V50-V2/2)
要注意V50=5*V2,所以能进一步化简,得到最后的斜率为
3 !