证明∫L（x4+4xy3）dx+(6x2y2-5y4)dy与路径无关并计算∫(3,0)(-2,-1)(x4+4xy3)dx+(6x2y2-5y4)dy的值

Question

证明∫L（x4+4xy3）dx+(6x2y2-5y4)dy与路径无关并计算∫(3,0)(-2,-1)(x4+4xy3)dx+(6x2y2-5y4)dy的值

Answer 1

P=x^4+4xy^3,Q=6x^2y^2-5y^4,aP/ay=12xy^2=aQ/ax,因此积分与路径无关.
从(-2,-1)到(3,0)的积分,既然与路径无关,可以先从(-2,-1)到(3,-1)的直线段L1,再从(3,-1)到(3,0)的直线段L2
在L1上,y=-1,dy=0,积分为：积分（从-2到3）(x^4--4x)dx=x^5/5--2x^2|上限3下限--2=45.
在L2上,x=3,dx=0,积分为：积分（从-1到0）(54y^2--5y^4)dy=17,
两项相加得积分值为62.