已知点M(-3,5),N(2,15),在直线l:3x-4y+4=0上找一点P,使|PM|+|PN|最小,并求出最小

Question

已知点M(-3,5),N(2,15),在直线l:3x-4y+4=0上找一点P,使|PM|+|PN|最小,并求出最小

Answer 1

显然M、N在直线的同侧.
设点M关于直线l的对称点为A,则PM+PN=PA+PN
由于两点之间线段最短,因此只需连结AN两点,线段AN与直线l的交点即为所求的P点：
设A（s,t）
由于A与M关于直线对称,所以有：
(t-5)/(s+3)=-4/3
3(s-3)/2-4(t+5)/2+4=0
联立两方程解得（s,t）=(3,-3)
由于A、N两点已知,可求得AN的直线方程为：
y=-18x+51
该直线与直线l联立：
y=-18x+51
3x-4y+4=0
解二元一次方程组得：(x,y)=(8/3,3)
所以要求的点P为(8/3,3)
故由两点间的距离公式可得
PM+PN的最小值为PA+PN=AN=根号下[(3-2)^2+(-3-15)^2]=5根号下[13]
该题的解题核心就是充分利用轴对称的关系转换点的位置来进行等效处理.
希望这个解题方法能够给你帮助:-D