求方程x3=2y3+4z3的整数解．

Question

求方程x³=2y³+4z³的整数解．

Answer 1

显然（0，0，0）为方程的一组解，设（x₁，y₁，z₁）为方程的另一组非零解，则利用奇偶性可知：x₁为偶数，x₁=2x₂
则8x₂³=2y³+4z³，即4x₂³=y₁³+2z₁³
∴y₁为偶数：y₁=2y₂
∴8x₂³=4x₂³-2z₁³，即4y₂³=2x₂³-z₁³
∴z₁为偶数：z₁=2z₂
∴8z₂³=2x₂³-4y₂³，即4z₂³=x₂³-2y₂³
∴x₂为偶数
如此循环反复，有（x，y，z）为方程解，
则（(x)/(2)，(y)/(2)，(z)/(2)）为方程的解，…，（(x)/(2n)，(y)/(2n)，(z)/(2n)）为方程的解
∴而（(x)/(2n)，(y)/(2n)，(z)/(2n)）不可能永远为偶数．
∴只有x=y=z=0为方程的解．