已知直线ln：y=-n+1nx+1n（n是不为零的自然数）．当n=1时，直线l1：y=-2x+1与x轴和y轴分别交于点A1和B1，设△A1OB1（其中O是平面直角坐标系的原点）的面积为S

Question

已知直线 l n ：y=-(n+1)/(n) x+(1)/(n) （n是不为零的自然数）．当n=1时，直线l ₁ ：y=-2x+1与x轴和y轴分别交于点A ₁ 和B ₁ ，设△A ₁ OB ₁ （其中O是平面直角坐标系的原点）的面积为S ₁ ；当n=2时，直线 l 2 ：y=-(3)/(2) x+(1)/(2) 与x轴和y轴分别交于点A ₂ 和B ₂ ，设△A ₂ OB ₂ 的面积为S ₂ ，…，
依此类推，直线l _n 与x轴和y轴分别交于点A _n 和B _n ，设△A _n OB _n 的面积为S _n ．
（1）求设△A ₁ OB ₁ 的面积S ₁ ；
（2）求S ₁ +S ₂ +S ₃ +…+S ₆ 的值．

Answer 1

（1）∵y ₁ =-2x+1，
∴A ₁ （ (1)/(2) ，0），B ₁ （0，1），
∴S ₁ = (1)/(2) ×(1)/(2) ×1 = (1)/(4) ；

（2）∵y ₂ =- (3)/(2) x+(1)/(2) ，
∴A ₂ （ (1)/(3) ，0），B ₂ （0， (1)/(2) ）
故S ₂ = (1)/(2) ×(1)/(3) ×(1)/(2) ，
∵y ₃ =- (4)/(3) x+(1)/(3) ，
∴A ₃ （ (1)/(4) ，0），B ₃ （0， (1)/(3) ），
故S ₃ = (1)/(2) ×(1)/(4) ×(1)/(3) ，
…
∵y _n = -(n+1)/(n) x+ (1)/(n) ，
∴A _n （ (1)/(n+1) ，0 ），B _n （0， (1)/(n) ），
故S _n = (1)/(2) ×(1)/(n+1) ×(1)/(n) ，
∵ (1)/(n) ×(1)/(n+1) = (1)/(n) -(1)/(n+1) ，
∴S ₁ +S ₂ +…+S ₆ = (1)/(2) （ (1)/(1×2) +(1)/(2×3) +(1)/(3×4) + … +(1)/(6×7) ）
= (1)/(2) [（1- (1)/(2) ）+（ (1)/(2) - (1)/(3) ）+…+（ (1)/(6) -(1)/(7) ）]= (1)/(2) （1- (1)/(7) ）= (3)/(7) ．