有两个大小不等的等腰直角三角板三角形ABC和三角形AED,其中C、E分别为直角顶点,点F为线段BD的中点,连接CF、EF.（1）如图24（1）,A、B、D在同一直线上,则CF和EF的数量关系和位置关系是什么?并

Question

有两个大小不等的等腰直角三角板三角形ABC和三角形AED,其中C、E分别为直角顶点,点F为线段BD的中点,连接CF、EF.
（1）如图24（1）,A、B、D在同一直线上,则CF和EF的数量关系和位置关系是什么?并证明.
（2）将三角形AED绕点A逆时针旋转,其他条件不变,如图24（2）,那CF和EF有怎样的数量关系和位置关系?并证明.

Answer 1

1.CF=EF CF⊥EF
证明：延长CD交BC与M点,连接FM
四边形ACEM中有三个直角,为矩形
∴CM=AE=DE
△BMD中顶角∠M=90°,∠B=45°,∴为等腰直角三角形
又∵F为中点 ∴MF⊥AB ∴MF=DF
∵∠CMF=∠CME+∠FME=90+45°=135°
∠FOE=∠AED+∠EAD=135°
∴∠FOE=∠CMF
边角边CM=DE,MF=DF,∠FOE=∠CMF
∴△CMF≌△EDF
∴CF=EF
∠CFM=∠EFD ∴∠MFA=∠CFE=90°
∴CF=EF CF⊥EF得证
2.结论相同
分别取AB.AD中点为M.N,连接CM.EN.MF.NF
M.N.F均为中点,所以有三条中位线,有平行四边形MNDF
∴∠BMF=∠FND 又∵∠CMB=∠END=90° ∴∠CMF=∠FNE
中位线MF ∴MF=ND 又ND=NE ∴MF=NE
中位线NF ∴NF=BM=CM ∴NF=MC
边角边全等 ∴△CMF≌△FNE
∴CF=EF
角度：∠NFE=∠MCF,∠MFN=∠FMB
∴∠CFE=∠CFM+∠MFN+∠NFE=∠CFM+∠MCF+∠FMB
△CFM中∠CFM+∠MCF+∠FMB=180°-∠CMB=90°
∴CF⊥EF
好题!不过等腰三角形的题目有常规辅助线 做斜边高,非常有效,可以作为结论.
第一问我尝试不用斜边高,也做出来了.第二问就不行了.
另外,如果旋转角度特殊,这题会更简单一些.上边的是基本方法.