已知二次函数y=mx2+nx+1经过点A（-1，0）．（1）若该二次函数图象与x轴只有一个交点，求此时二次函数的解析式；（2）若该二次函数y=mx2+nx+1图象与x轴有两个交点，另一个交点为B，与y轴交点

Question

已知二次函数y=mx²+nx+1经过点A（-1，0）．
（1）若该二次函数图象与x轴只有一个交点，求此时二次函数的解析式；
（2）若该二次函数y=mx²+nx+1图象与x轴有两个交点，另一个交点为B，与y轴交点为C．且S_△ABC=1，求n的值；
（3）若x=1时，y>2，试判断该抛物线在0<x<1之间的部分与x轴是否有公共点？若有，求出公共点的坐标，若没有，请说明理由．

Answer 1

（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=mx²+nx+1上，
∴m-n+1=0，即n=m+1，
∵二次函数图象与x轴只有一个交点，
∴△=n²-4m=0，
即（m+1）²-4m=0，解得m=1，
∴抛物线解析式为y=x²+2x+1；
（2）∵n=m+1，
∴y=mx²+nx+1=mx²+（m+1）x+1=（mx+1）（x+1），
当y=0时，（mx+1）（x+1）=0，解得x₁=-(1)/(m)，x₂=-1，
∴B（-(1)/(m)，0），
当x=0时，y=mx²+nx+1=1，则C（0，1），
∵S_△ABC=1，
∴(1)/(2)•|-(1)/(m)+1|•1=1，解得m=-1或m=(1)/(3)，
当m=-1时，n=m+1=0；当m=(1)/(3)时，n=m+1=(4)/(3)，
即n的值为0或(4)/(3)；
（3）当x=1时，y>2，即m+n+1>2，
而n=m+1，
∴m+m+1+1>2，解得m>0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线与y轴的交点为（0，1），
∴该抛物线在0<x<1之间的部分与x轴没有公共点．