已知函数f（x）=log9（9x+1）+kx（k∈R）为偶函数．（1）求k的值；（2）解关于x的不等式f(x)−log9(a+1a)＞0(a＞0)．

Question

已知函数f（x）=log₉（9^x+1）+kx（k∈R）为偶函数．
（1）求k的值；
（2）解关于x的不等式f(x)−log9(a+(1)/(a))＞0(a＞0)．

Answer 1

（1）∵f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即log₉（9^-x+1）-kx=log₉（4⁹+1）+kx，
∴log₉(9x+1)/(9x)-log₉（9^x+1）=2kx，
∴（2k+1）x=0，∴k=-(1)/(2)，
（2）f(x)−log9(a+(1)/(a))＞0⇒log9(9x+1)−(x)/(2)＞log9(a+(1)/(a))
⇒log9(9x+1)/(9(x)/(2))＞log9(a+(1)/(a))
⇒(9x+1)/(3x)＞a+(1)/(a)，
⇒(3x)2−(a+(1)/(a))3x+1＞0
⇒(3x−a)(3x−(1)/(a))＞0
（ I）①a＞1时⇒3^x＞a或3x＜(1)/(a)⇒{x|x＞log₃a或x＜log3(1)/(a)}，
②0＜a＜1时⇒3x＞(1)/(a)或3^x＜a，{x|x＞log 3(1)/(a)或x＜log₃a}，
③a=1时⇒3^x≠1，{x|x≠0}．