已知函数f（x）=xlnxx+1和g（x）=m（x-1）（m∈R）．（1）m=1时，求方程f（x）=g（x）的实根；（2）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤g（x）恒成立，求m的取值范围．

Question

已知函数f（x）=(xlnx)/(x+1)和g（x）=m（x-1）（m∈R）．
（1）m=1时，求方程f（x）=g（x）的实根；
（2）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤g（x）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）m=1时，f（x）=g（x）化为xlnx-x²+1=0，
设h（x）=xlnx-x²+1，则h′（x）=lnx+1-2x，
∴h″（x）=(1)/(x)-2，
∴h′（x）在（0，(1)/(2)）上单调递增，在（(1)/(2)，+∞）上单调递减，
∴h′（x）_max=h′（(1)/(2)）=-ln2，
∴h′（x）<0，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，
∵h（1）=0，
∴方程f（x）=g（x）的实根为x=1；
（2）∵f（x）=(xlnx)/(x+1)，
∴任意的x∈[1，+∞），f′（x）=(lnx+x+1)/((x+1)2)>0，函数单调递增，
∵f′（1）=(1)/(2)，
∴对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤g（x）恒成立，m≥(1)/(2)．