已知函数f（x）=x3+1x+1，x∈[0，1]．（1）用分析法证明：f（x）≥1-x+x2；（2）证明：f（x）≤32．

Question

已知函数f（x）=x³+(1)/(x+1)，x∈[0，1]．
（1）用分析法证明：f（x）≥1-x+x²；
（2）证明：f（x）≤(3)/(2)．

Answer 1

证明：（1）由x∈[0，1]，
则x+1∈[1，2]，
要证f（x）≥1-x+x²，
只需证x³（x+1）+1≥（x+1）（1-x+x²），
只需证x⁴+x³+1≥x³+1，
只需证x⁴≥0，显然成立，
∴f（x）≥1-x+x²，
（2）∵0≤x≤1，∴x³≤x，
∴f（x）≤x+(1)/(x+1)，
设g（x）=x+(1)/(x+1)，x∈[0，1]，
∴g′（x）=1-(1)/((x+1)2)=(x2+2x)/((x+1)2)≥0，
∴g（x）在[0，1]上单调递增，
∴f（x）≤g（1）=(3)/(2)