在△ABC中，已知a+ba=sinBsinB-sinA，且cos（A-B）+cosC=1-cos2C．（1）试确定△ABC的形状；（2）求a+cb的范围．

Question

在△ABC中，已知(a+b)/(a)=(sinB)/(sinB-sinA)，且cos（A-B）+cosC=1-cos2C．
（1）试确定△ABC的形状；
（2）求(a+c)/(b)的范围．

Answer 1

（1）由(a+b)/(a)=(sinB)/(sinB-sinA)，可得cos2C+cosC=1-cos（A-B）
得cosC+cos（A-B）=1-cos2C，cos（A-B）-cos（A+B）=2sin²C，
即sinAsinB=sin²C，根据正弦定理，ab=c²，①，
又由正弦定理及（b+a）（sinB-sinA）=asinB可知b²-a²=ab，②，由①②得b²=a²+c²，
所以△ABC是直角三角形，且B=90°；
（2）由正弦定理化简(a+c)/(b)=(sinA+sinC)/(sinB)=sinA+sinC=sinA+cosA=√(2)sin（A+45°），
∵(√(2))/(2)≤sin（A+45°）≤1，A∈（0，(π)/(2)）即1＜√(2)sin（A+45°）≤√(2)，
则(a+c)/(b)的取值范围是（1，√(2)]．