求值：cos(π/13)+cos(3π/13)+cos(9π/13)我要的结果当然不是近似值而应该是精确值了！同时要有简略的解题过程。

Question

求值：cos(π/13)+cos(3π/13)+cos(9π/13)
我要的结果当然不是近似值而应该是精确值了！同时要有简略的解题过程。

Answer 1

(1+根号13)/4
好像求和符号上下的字母显示的不正确 反正上面都是n 下面都是k=1哦
为方便起见,记cos(π/13)+cos(3π/13)+cos(9π/13)为(1,3,9)13
设(1,3,9)13=x,
(5,7,11)13=y(即cos(5π/13)+cos(7π/13)+cos(11π/13)=y)
利用恒等式
n
∑ cos（2k-1）π/(2n+1)=1/2
K=1
得x+y
= cos(π/13)+cos(3π/13)+cos(5π/13) +cos(7π/13)+cos(9π/13)+cos(11π/13)=1/2
{恒等式证明如下：（当然可以略过）
设π/(2n+1)=θ
n n
sinθ* ∑cos(2k-1)θ = ∑(sinθ*cos(2k-1)θ)
k=1 k=1
n
=1/2 ∑(sin2kθ-sin(2k-2)θ)
K=1
n n
=1/2 (∑sin2kθ- ∑sin(2k-2)θ)=1/2 sin2nθ .（将θ代入）
k=1 k=1
=1/2 sin2nπ/(2n+1)=1/2sin(π-π/(2n+1))
=1/2sinπ/(2n+1)=1/2 sinθ
n
即 ∑ cos（2k-1）π/(2n+1)=1/2 }
K=1
同时x*y
=(1,3,9)13 * (5,7,11)13
= 1/2(6,4,8,6,12,10,2,8,10,4,14,8,4,14,2,16,2,20) 13
= -1/2(7,9,5,7,1, 3,11,5, 3 ,9, 1 , 5,9,1,11,3,11,7) 13
=-1/2(3*(1,3,5,7,9,11) 13)
=-3/4
由x+y=1/2 ,xy=-3/4
所以x,y是方程p*p-p/2-3/4=0的两根
所以x=(1+根号13)/4