已知数列具有性质P：对任意，，与两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题：①数列0，1，3具有性质P；②数列0，2，4，6具有性质P；③若数列A具有性质P，则

Question

已知数列 具有性质P：对任意 ，
， 与 两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题：
①数列0，1，3具有性质P；
②数列0，2，4，6具有性质P；
③若数列A具有性质P，则 ；
④若数列 具有性质P，则
其中真命题有

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

Answer 1

已知数列 具有性质P：对任意 ，
， 与 两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题：
①数列0，1，3具有性质P；
②数列0，2，4，6具有性质P；
③若数列A具有性质P，则 ；
④若数列 具有性质P，则
其中真命题有

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

B

分析：根据数列A：a ₁ ，a ₂ ，…，a _n （0≤a ₁ ＜a ₂ ＜…＜a _n ，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），a _j +a _i 与a _j -a _i 两数中至少有一个是该数列中的一项，逐一验证，可知①错误，其余都正确．
∵对任意i，j（1≤i≤j≤n），a _j +a _i 与a _j -a _i 两数中至少有一个是该数列中的项，
①数列0，1，3中，a ₂ +a ₃ =1+3=4和a ₃ -a ₂ =3-1=2都不是该数列中的数，故①不正确；
②数列0，2，4，6，a _j +a _i 与a _j -a _i （1≤i≤j≤3）两数中都是该数列中的项，并且a ₄ -a ₃ =2是该数列中的项，故②正确；
③若数列A具有性质P，则a _n +a _n =2a _n 与a _n -a _n =0两数中至少有一个是该数列中的一项，
∵0≤a ₁ ＜a ₂ ＜…＜a _n ，n≥3，
而2a _n 不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，
∴a ₁ =0；故③正确；
④∵数列a ₁ ，a ₂ ，a ₃ 具有性质P，0≤a ₁ ＜a ₂ ＜a ₃
∴a ₁ +a ₃ 与a ₃ -a ₁ 至少有一个是该数列中的一项，且a ₁ =0，
1°若a ₁ +a ₃ 是该数列中的一项，则a ₁ +a ₃ =a ₃ ，
∴a ₁ =0，易知a ₂ +a ₃ 不是该数列的项
∴a ₃ -a ₂ =a ₂ ，∴a ₁ +a ₃ =2a ₂
2°若a ₃ -a ₁ 是该数列中的一项，则a ₃ -a ₁ =a ₁ 或a ₂ 或a ₃
①若a ₃ -a ₁ =a ₃ 同1°，
②若a ₃ -a ₁ =a ₂ ，则a ₃ =a ₂ ，与a ₂ ＜a ₃ 矛盾，
③a ₃ -a ₁ =a ₁ ，则a ₃ =2a ₁
综上a ₁ +a ₃ =2a ₂ ，
故选B．