如图，射线AM上有一点B，AB=6，点C是射线AM上异于B的一点，过C作CD⊥AM，且CD=43AC，过D点作DE⊥AD，交射线AM于E，在射线CD取点F，使得CF=CB，连接AF并延长，交DE于点G，设AC=3x．（1）当C在B点右

Question

如图，射线AM上有一点B，AB=6，点C是射线AM上异于B的一点，过C作CD⊥AM，且CD=(4)/(3)AC，过D点作DE⊥AD，交射线AM于E，在射线CD取点F，使得CF=CB，连接AF并延长，交DE于点G，设AC=3x．

（1）当C在B点右侧时，求AD．DF的长．（用关于x的代数式表示）
（2）当x为何值时，△AFD是等腰三角形；
（3）作点D关于AG的对称点D′，连接FD′，GD′，若四边形DFD′G是平行四边形，求x的值．（直接写出答案）

Answer 1

（1）∵CD=(4)/(3)AC，AC=3x，
∴CD=4x，
∵CD⊥AM，
∴∠ACD=90°，
由勾股定理得：AD=5x，
∵AB=6，C在B点右侧，
∴BC=AC-AB=3x-6，
∵BC=FC=3x-6，
∴DF=CD-FC=4x-（3x-6）=x+6；
（2）分两种情况：
①当C在B点的右侧时，
∴AC>AB，
∴F必在线段CD上，
∵∠ACD=90°，
∴∠AFD是钝角，若△ADF为等腰三角形，只可能AF=DF，过F作FN⊥AD于N，如图2，
∴AN=ND=2.5x，
cos∠ADC=(DN)/(DF)=(DC)/(AD)，
(2.5x)/(x+6)=(4x)/(5x)，
x=(48)/(17)；
②当C在线段AB上时，同理可知若△ADF为等腰三角形，只可能AF=DF，
i）当CF<CD时，过F作FN⊥AD于N，如图3，
∵AB=6，AC=3x，
∴BC=CF=6-3x，
∴DF=4x-（6-3x）=7x-6，
cos∠ADC=(DN)/(DF)=(CD)/(AD)，
∴(2.5x)/(7x-6)=(4x)/(5x)，
x=(48)/(31)，
ii）当CF>CD时，如图4，
BC=CF=6-3x，
∴FD=AD=6-3x-4x=6-7x，
则6-7x=5x，
x=(1)/(2)，
综上所述，当x=(48)/(17)或(48)/(31)或(1)/(2)时，△AFD是等腰三角形；
（3）∵四边形DFD′G是平行四边形，且DF=D′F，
∴▱DFD′G是菱形，
∴DF=DG，
∴∠DFG=∠DGF，
∵∠AFC=∠DFG，
∴∠DGF=∠AFC，
∵∠ACD=∠ADG=90°，
∴∠FAC=∠DAG，
即AF平分∠DAC，
过F作FN⊥AD于N，
当C在AB的延长线上时，如图2，FN=FC=3x-6，DF=x+6，
sin∠CDA=(3x-6)/(x+6)=(3)/(5)，
解得：x=4，
当C在AB边上时，如图5，FN=FC=6-3x，
DF=7x-6，
sin∠CDA=(6-3x)/(7x-6)=(3)/(5)，
x=(4)/(3)，
综上所述，若四边形DFD′G是平行四边形，x的值是4或(4)/(3)．