在正方形ABCD中，点P在射线AB上，连结PC，PD，M，N分别为AB，PC中点，连结MN交PD于点Q．（1）如图1，当点P与点B重合时，求∠QMB的度数；（2）当点P在线段AB的延长线上时．①依题意补全图2②小

Question

在正方形ABCD中，点P在射线AB上，连结PC，PD，M，N分别为AB，PC中点，连结MN交PD于点Q．
（1）如图1，当点P与点B重合时，求∠QMB的度数；
（2）当点P在线段AB的延长线上时．
①依题意补全图2
②小聪通过观察、实验、提出猜想：在点P运动过程中，始终有QP=QM．
小聪把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1延长BA到点E，使AE=PB．要证QP=QM，只需证△PDA≌△ECB．
想法2：取PD中点E，连结NE，EA．要证QP=QM只需证四边形NEAM是平行四边形．
想 法3：过N作NE∥CB交PB于点E，要证QP=QM，只要证明△NEM∽△DAP．
…
请你参考上面的想法，帮助小聪证明QP=QM．（一种方法即可）

Answer 1

（1）如图1中，连结AC．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D AB=90°，
∴∠C AB=45°，
∵点 M，N  是 AB，BC 中点，
∴MN∥AC，
∴∠NMB=∠C AB=45°，
∴∠QMB=∠C AB=45°，
（2）①图象如图所示，

                   

②想法1：如图2-1中，延长BA 到点E，使AE=PB
∴BE=AP，
∵正方形ABCD，
∴∠PAD=∠EBC=90°，AD=BC，
∴△PDA≌△ECB，
∠DPA=∠E，
又点M  是AB  中点，AM=MB，又AE=BP，
∴AM+EA=MB+BP，
∴EM=MP，
∴M是EP中点，
∴MN是△EPC的中位线，
∴MN∥EC，
∴∠E=∠NMP，
∴∠NMP=∠DPA即∠QMP=∠QPM，
∴QM=QP．     
想法2：如图2-2中，取PD  中点E，连结NE，EA

∵E，N分别是PD，PC，
∴EN∥CD，EN=(1)/(2)CD，
又CD∥AB，CD=AB，
∴EN∥AB且EN=(1)/(2)AB，
∴EN=AM，
∴四边形是NEAM是平行四边形，
∴EA∥MN，
∴∠EAB=∠NMB，
又点E是Rt△DAP斜边DP中点，
∴AE=EP，
∴∠EAB=∠EPA，
∴∠NMB=∠EPA，
∴QM=QP．                   

想法3：如图2-3中，过N 作 NE∥CB 交PB 于点 E，

∵CB⊥AB，
∴NE⊥AP，
又∵N 是 PC中点，
∴NE 是△CBP的中位线，
∴NE=(1)/(2)BC，
又点E是B P中点，
∴BE=(1)/(2)BP，MB=(1)/(2)AB，
∴ME=(1)/(2)AP，
∴(ME)/(AP)=(NE)/(DA)=(1)/(2)，
∠NEM=∠DAP=90°，
∴△NEM∽△DAP，
∴∠EMN=∠APD，
∴QM=QP．