若函数f（x）=ex+x3-12x-1的图象上有且只有两点P1，P2，使得函数g（x）=x3+mx的图象上存在两点Q1，Q2，且P1与Q1、P2与Q2分别关于坐标原点对称，则实数m的取

Question

若函数f（x）=e^x+x³- (1)/(2)x-1的图象上有且只有两点P₁，P₂，使得函数g（x）=x³+ (m)/(x)的图象上存在两点Q₁，Q₂，且P₁与Q₁、P₂与Q₂分别关于坐标原点对称，则实数m的取值集合是___．

Answer 1

设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），则Q₁（-x₁，-y₁），Q₂（-x₂，-y₂），
由题意可得y₁=e^x₁+x₁³-(1)/(2)x₁-1，-y₁=-x₁³-(m)/(x1)，
即有y₁-y₁=e^x₁-(1)/(2)x₁-1-(m)/(x1)=0，
即为m=x₁e^x₁-(1)/(2)x₁²-x₁，
同理可得m=x₂e^x₂-(1)/(2)x₂²-x₂，
即有方程m=xe^x-(1)/(2)x²-x有且只有两个不等的实根．
令h（x）=xe^x-(1)/(2)x²-x，导数为h′（x）=（x+1）e^x-x-1
=（x+1）（e^x-1），
由h′（x）=0，解得x=-1或x=0，
当-1<x<0时，h′（x）<0，h（x）递减；
当x>0或x<-1时，h′（x）>0，h（x）递增．
即有h（x）在x=0处取得极小值，且为0；
x=-1处取得极大值，且为(1)/(2)-(1)/(e)．
则m=0或(1)/(2)-(1)/(e)．
当m=0时，xe^x-(1)/(2)x²-x=0（x≠0）只有一解．
故答案为：{(1)/(2)-(1)/(e)}．