如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B，与y轴交于点C，A、C的坐标分别是（1，0）和（0，2），B在A的右侧，且∠OCA=∠OBC．（1）求证：△AOC∽△COB；（2）求这个二次函数的解

Question

如图，二次函数y=a x²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B，与y轴交于点C，A、C的坐标分别是（1，0）和（0，2），B在A的右侧，且∠OCA=∠OBC．
（1）求证：△AOC∽△COB；
（2）求这个二次函数的解析式及顶点坐标．

Answer 1

（1）证明：∵∠OCA=∠OBC，
∠COA=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB；

（2）∵△AOC∽△COB，
∴(OA)/(OC)＝(OC)/(OB)，
即(1)/(2)＝(2)/(OB)，
解得OB=4，
即点B的坐标为（4，0），
把点A、B、C三点代入函数解析式得，

c＝2

4a+2b+c＝0

16a+4b+c＝0

，
解得

a＝(1)/(2)

b＝−(5)/(2)

c＝2

，
所以函数解析式为：y＝(1)/(2)x2−(5)/(2)x+2，
因此顶点坐标为：（(5)/(2)，−(9)/(8)）．