已知△ABC中，M是BC的中点，AM=7，设内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且cosAcosC＝3a2b−3c．（1）求角A的大小；（2）若角B=π6，求△ABC的面积；（3）求△ABC面积的最大值．

Question

已知△ABC中，M是BC的中点，AM=√(7)，设内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且(cosA)/(cosC)＝(√(3)a)/(2b−√(3)c)．
（1）求角A的大小；
（2）若角B=(π)/(6)，求△ABC的面积；
（3）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

（1）∵(cosA)/(cosC)＝(√(3)a)/(2b−√(3)c)，
∴(cosA)/(cosC)＝(√(3)sinA)/(2sinB−√(3)sinC)
∴2cosAsinB−√(3)cosAsinC＝√(3)sinAcosC
∴2cosAsinB＝√(3)sin(A+C)
∴cosA＝(√(3))/(2)
∵0＜A＜π
∴A=(π)/(6)；
（2）设CM=x，则AC=2x，
在△AMC中，7=x²+4x²-2x•2x•cos∠ACM
∴x=1
∴AC=BC=2
∴S_△ABC=(1)/(2)×2×2×sin120°=√(3)；
（3）延长AM至D，使得MD=AM
设AB=x，AC=y，则28=x²+y²-2xycos150°=x²+y²+√(3)xy≥(2+√(3))xy
∴xy≤(28)/(2+√(3))=28（2−√(3)）
∴S_△ABC=S_△ACD=(1)/(2)xysin150°=(1)/(4)xy≤7（2−√(3)）
∴x=y时，△ABC面积的最大值为7（2−√(3)）．