在△ABC中，a=1，b=ex−e−x2，c=ex+e−x2（x＞0，e=2.71828…））．（1）求△ABC的最大角；（2）试比较am+bm与cm（m∈R）的大小．

Question

在△ABC中，a=1，b=(ex−e−x)/(2)，c=(ex+e−x)/(2)（x＞0，e=2.71828…））．
（1）求△ABC的最大角；
（2）试比较a^m+b^m与c^m（m∈R）的大小．

Answer 1

（1）∵c=(ex+e−x)/(2)≥(2√(ex•e−x))/(2)=1=a，
b-c=-e^x＜0，即b＜c．
∴c所对的角C是△ABC的最大角，
∵cosC=(12+((ex−e−x)/(2))2−((ex+e−x)/(2))2)/(ex−e−x)=0，
∴C=90°；
（2）∵C=90°，
∴a²+b²=c²，
∴a=c•sinA，b=c•cosA，
∴a^m+b^m=c^m（sin^mA+cos^mA），
分三种情况考虑：
①当m＜2时，a^m+b^m＞c^m（sin²A+cos²A）=c^m；
②当m=2时，a^m+b^m=c^m；
②当m＞2时，sin^mA+cos^mA＜sin²A+cos²A=1，此时a^m+b^m＜c^m（sin²A+cos²A）=c^m．