化简a^2(x-b)(x-c)/(a-b)(a-c)+b^2(x-c)(x-a)/(b-c)(b-a)+c^2(x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)答案是x^2

Question

化简a^2(x-b)(x-c)/(a-b)(a-c)+b^2(x-c)(x-a)/(b-c)(b-a)+c^2(x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)
答案是x^2

Answer 1

F（A）=A2,F（B）=B2,F（C）=C2
有M最高次为2
设M=KX2+MX+N
令Y=X2
显然两个函数最多有两个交点,而A/=B/=C
所以M=Y
上述摘自百度把,高人哪．．．
有看不懂的我解释下：(因不知LZ水平,有些解释会比较幼稚- -!)
首先,此代数式最高项为2次项
{即化简后不会出现x^3,x^4或更高}
不妨设化简后的值f(x)＝Ax^2+Bx+C
{ABC是添加的代数,与abc意义不同}
则次函数图象是抛物线,
其次,将x=a,x=b,x=c分别代入f(x)=a^2(x-b)(x-c)/(a-b)(a-c)+b^2(x-c)(x-a)/(b-c)(b-a)+c^2(x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)中得:
f(a)=a^2
f(b)=b^2
f(c)=c^2
即(a,a^2)(b,b^2)(c,c^2)三点都在抛物线f(x)上
最后,设另一函数g(x)=x^2
则易知,(a,a^2)(b,b^2)(c,c^2)三点也都在抛物线g(x)上
{两条抛物线要么没交点,要么1个交点,要么2个交点,当出现3或3以上的交点时,这两条抛物线一定重合(不信LZ试试- -!)}
因为f(x)与g(x)有3个交点(a,a^2)(b,b^2)(c,c^2)
所以f(x)与g(x)重合
即f(x)=g(x)=x^2
则x^2为化简后的值