某人射击5次，每次中靶的概率均为0.9，求他至少两次中靶的概率.

Question

某人射击5次，每次中靶的概率均为0.9，求他至少两次中靶的概率.

Answer 1

思路分析： 至少有两次中靶包括恰好有2次中靶，恰好有3次中靶，恰好有4次中靶和恰好有5次中靶四种情况.而这些事件是彼此互斥的，而他每次射击中靶的概率均相等，并且相互之间没有影响，所以每次射击又是相互独立事件，因而他射击5次是进行5次独立重复试验.

解法一：在5次射击中恰好有2次中靶的概率为 ×0.9 ² ×0.1 ³ ；

在5次射击中恰好有3次中靶的概率为 ×0.9 ³ ×0.1 ² ；

在5次射击中恰好有4次中靶的概率为 ×0.9 ⁴ ×0.1；

在5次射击中5次均中靶的概率为 ×0.9 ⁵ .

至少有2次中靶的概率为 ×0.9 ² ×0.1 ³ ＋ ×0.9 ³ ×0.1 ² + ×0.9 ⁴ ×0.1＋ ×0.9 ⁵ =0.008 1＋0.072 9＋0.328 05＋0.590 49=0.999 54.

解法二：至少有2次中靶的对立事件是至多有1次中靶，它包括恰好有1次中靶与全没有中靶两种情况，显然这是两个互斥事件.

在5次射击中恰好有1次中靶的概率为 ×0.9×0.1 ⁴ ；

在5次射击中全没有中靶的概率为0.1 ⁵ .

所以至少有2次中靶的概率为1- ×0.9×0.1 ⁴ -0.1 ⁵ =1-0.000 45-0.000 01=0.999 54.

    误区警示 如果我们对独立重复试验的意义理解不深刻，很容易得出其概率为 ×0.9 ² ×0.1 ³ =0.008 1的错误结果.究其原因是“至少有2次中靶”这一事件并不是指“有2次中靶，而其余三次不中靶”，因而不能直接运用公式 p ^k (1-p) ^n-k .该公式仅适用于求某ｎ次独立重复试验中，事件A发生了ｋ次，而其余的ｎ-ｋ次事件A不发生的概率，且 P （A）=ｐ.