如图所示，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E，连接AP、AF．求证：（1）AF∥BE；（2）△ACP∽△FCA；（3）CP=AE．

Question

如图所示，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E，连接AP、AF．
求证：

（1）AF∥BE；
（2）△ACP∽△FCA；
（3）CP=AE．

Answer 1

证明：（1）∵∠B、∠F同对劣弧AP，
∴∠B=∠F，
∵BO=PO，
∴∠B=∠BPO，
∴∠F=∠BPF，
∴AF∥BE．
（2）∵AC切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BPA=90°，
∴∠EAP=90°-∠BEA，∠B=90°-∠BEA，
∴∠EAP=∠B=∠F，
又∠C=∠C，
∴△ACP∽△FCA．
（3）∵∠CPE=∠BPO=∠B=∠EAP，∠C=∠C．
∴△PCE∽△ACP
∴(PC)/(PE)＝(AC)/(AP)，
∵∠EAP=∠B，∠EPA=∠APB=90°，
∴△EAP∽△ABP．
∴(AE)/(PE)＝(AB)/(AP)，
又AC=AB，
∴(AE)/(PE)＝(AC)/(AP)，
于是有(PC)/(PE)＝(AE)/(PE)．
∴CP=AE．