如图,点P是等腰RT三角形ACB内任意一点,∠ACB＝90度,连接AP,BP,CP,以CP为腰作等腰直角三角形PCE,∠PCE＝90度,连接BE.∠APB＝115度时,∠PBE＝25度,设∠APC＝X度,试探究：三角形PBE可以是等腰三角形吗,若

Question

如图,点P是等腰RT三角形ACB内任意一点,∠ACB＝90度,连接AP,BP,CP,以CP为腰作等腰直角三角形PCE,∠PCE＝90度,连接BE.∠APB＝115度时,∠PBE＝25度,设∠APC＝X度,试探究：三角形PBE可以是等腰三角形吗,若能,请求出满足条件的X值.

Answer 1

据∠APB＝115°时,∠PBE＝25°,观察E点应位于近BC边的外侧；
设若△PBE是等腰三角形,则PB=PE=√2*PC或BE=PE=√2*PC；
第一种情况,PB=√2*PC.△ACB内可以找到无数个点符合此条件,这些点位于某圆曲线之一部上,
最小X是当P点落在BC边上,PC+PB=BC,PC=BC/(1+√2)=AC/(1+√2),tanX=AC/PC=1+√2；
最大X是当P点落在A点处,PB=AB=√2PC=√2AC,X=180°；
X=180°~arctan(1+√2)；
第二情况BE=PE=√2*PC=√2*CE.点E位于某圆曲线之一部上（在△ACB之BC边外）,点P变化是以C为中心的1/4圆弧,范围从BC线（√2:1处）到AC线（√2:1处）,X角变化范围同第一种情况.