如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O事AC边上的一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC于点E.请回答以下问题：（1）试说明：△ABF∽△COE；（2）当O为AC边的中点，且AC：AB=2时，如图2，

Question

如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O事AC边上的一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC于点E.请回答以下问题： （1）试说明：△ABF∽△COE； （2）当O为AC边的中点，且AC：AB=2时，如图2，求OF：OE的值； （3）当O为AC边的中点，且AC：AB=n时，请直接写出OF：OE的值.

第2问需要做辅助线，不能作OG⊥AC，交AD的延长线于G，要用另一种辅助线方法，

Answer 1

（1）∵AD⊥BC ∴∠DAC+∠C=90度 ∵∠BAC=90° ∴∠BAF=∠C ∵OE⊥OB ∴∠BOA+∠COE=90° ∵∠BOA+∠ABF=90° ∴∠ABF=∠COE ∴△ABF∽△COE。 （2）∵AC：AB=2 ∴∠ABF=∠COE=∠BOA=45° O为AC边中点,即OC=AB 在三角形OEC中，作EM⊥OC，交点为M 在三角形ABF中，作FP⊥AB交于AB于P 在三角形AFO中，作FN⊥AO交于AO于N 则ΔBPF≌ΔOME ∴OE:OF=BF:OF ∵ΔBPF∽ΔFNO ∴BF:OF=PF:NO=PF:FN ∵∠PAF=∠ACB ∴PF:FN=AB:AC=1:2 ∴OF:OE=2 （3） 解法1： ∵∠BAD+∠DAC=90°，∠DAB+∠ABD=90° ∴∠DAC=∠ABD 又∠BAC=∠AOG=90°，AB=OA ∴△ABC≌△OAG ∴OG=AC=2AB ∵OG⊥OA ∴AB∥OG ∴△ABF∽△GOF ∴OF/BF=OG/AB OF/OE=OF/BF=OG/AB=2。 解法2： 过O作AC垂线并交BC于H ∵∠AFB=∠OEC ∴∠AFO=∠HEO ∵∠BAF=∠ECO ∴∠FAO=∠EHO ∴△OEH∽△OFA ∴OF：OE=OA：OH=2：1 故OF：OE=2