如图，AH是O的直径，AE平分∠FAH，交O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．（1）求证：直线FG是O的切线；（2）若CD=10，EB=5，求O的直径

Question

如图，AH是 O的直径，AE平分∠FAH，交 O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．

（1）求证：直线FG是 O的切线；
（2）若CD=10，EB=5，求 O的直径．

Answer 1

（1）如图1，连接OE，

∵OA=OE，
∴∠EAO=∠AEO，
∵AE平分∠FAH，
∴∠EAO=∠FAE，
∴∠FAE=∠AEO，
∴AF∥OE，
∴∠AFE+∠OEF=180°，
∵AF⊥GF，
∴∠AFE=∠OEF=90°，
∴OE⊥GF，
∵点E在圆上，OE是半径，
∴GF是 O的切线．
（2）∵四边形ABCD是矩形，CD=10，
∴AB=CD=10，∠ABE=90°，
设OA=OE=x，则OB=10-x，
在Rt△OBE中，∠OBE=90°，BE=5，
由勾股定理得：OB²+BE²=OE²，
∴（10-x）²+5²=x²，
∴x=(25)/(4)，
AH=2×(25)/(4)=(25)/(2)，
∴ O的直径为(25)/(2)．