已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设Tn为数列{1anan+1}的前n项和，若Tn≤λan+1对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最小值

Question

已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前四项和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n为数列{(1)/(anan+1)}的前n项和，若T_n≤λa_n+1对∀n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

（I）设公差为d，由已知得：

S4＝14

a32＝a1a7

，
即

4a1+(4×3)/(2)d＝14

(a1+2d)2＝a1(a1+6d)

，
解得：d=1或d=0（舍去），
∴a₁=2，
故a_n=2+（n-1）=n+1；
（II）∵(1)/(anan+1)=(1)/((n+1)(n+2))=(1)/(n+1)-(1)/(n+2)，
∴T_n=(1)/(2)-(1)/(3)+(1)/(3)-(1)/(4)+…+(1)/(n+1)-(1)/(n+2)=(1)/(2)-(1)/(n+2)=(n)/(2(n+2))，
∵T_n≤λa_n+1对∀n∈N^*恒成立，即(n)/(2(n+2))≤λ（n+2），λ≥(n)/(2(n+2)2)∀n∈N^*恒成立，
又(n)/(2(n+2)2)=(1)/(2(n+(4)/(n)+4))≤(1)/(2(4+4))=(1)/(16)，
∴λ的最小值为(1)/(16)．