数列{an}的前n项和为Sn=2an-2，数列{bn}是首项为a1，公差不为零的等差数列，且b1，b3，b11成等比数列．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）求数列{bnan}的前n项和Tn．

Question

数列{a_n}的前n项和为S_n=2a_n-2，数列{b_n}是首项为a₁，公差不为零的等差数列，且b₁，b₃，b₁₁成等比数列．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）求数列{(bn)/(an)}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
又a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，
∴数列{a_n}是以2为首项，公比为2的等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式为an＝2n．
b₁=a₁=2，设公差为d，
则由b₁，b₃，b₁₁成等比数列，得（2+2d）²=2×（2+10d），…（4分）
解得d=0（舍去）或d=3，
∴数列{bn }的通项公式为b_n=3n-1．…（6分）
（2）令T_n=(b1)/(a1)+(b2)/(a2)+(b3)/(a3)+…+(bn)/(an)
=(2)/(2)+(5)/(22)+(8)/(23)+…+(3n−1)/(2n)，
∴2Tn＝2+(5)/(2)+(8)/(22)+…+(3n−1)/(2n−1)，
两式相减得T_n=2+(3)/(2)+(3)/(22)+…+(3)/(2n−1)−(3n−1)/(2n)，
∴Tn＝2+((3)/(2)(1−(1)/(2n−1)))/(1−(1)/(2))-(3n−1)/(2n)
=5-(3n+5)/(2n)．…（12分）