已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2．数列{bn}为等比数列，且b1=1，b4=8．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）若数列{cn}满足cn=abn，求数列{cn}的前n项和Tn．

Question

已知数列{a_n} 的前n项和为S_n，且S_n=n²．数列{b_n}为等比数列，且b₁=1，b₄=8．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足c_n=abn，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（本小题满分10分）
（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
当n=1时，a₁=S₁=1满足上式，故a_n=2n-1
又 数列{b_n}为等比数列，设公比为q，
∵b₁=1，b₄=b₁q³=8，∴q=2．
∴b_n=2^n-1
（Ⅱ）cn＝abn＝2bn−1=2ⁿ-1．
T_n=c₁+c₂+…+c_n=（2-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2+2²+…+2ⁿ）-n=2ⁿ⁺¹-2-n