已知四边形ABCD，点E是射线BC上的一个动点（点E不与B、C两点重合），线段BE的垂直平分线交射线AC于点P，联结DP，PE.（1）若四边形ABCD是正方形，猜想PD与PE的关系，并

Question

已知四边形 ABCD ，点 E 是射线 BC 上的一个动点（点 E 不与 B、C 两点重合），线段 BE 的垂直平分线交射线 AC 于点 P ，联结 DP，PE.

（1）若四边形 ABCD 是正方形，猜想 PD 与 PE 的关系，并证明你的结论.
（2）若四边形 ABCD 是矩形，（1）中的 PD 与 PE 的关系还成立吗？        （填：成立或不成立）.

（3）若四边形 ABCD 是矩形， AB =6，cos ∠ACD =  ，设 AP=x ，△ PCE 的面积为 y ,当 AP> AC 时，求 y 与 x 之间的函数关系式.

Answer 1

（1）见解析
（2）成立
（3）见解析

（1） PE ＝ PD ，……………………………..(1分)
PE ⊥ PD   ……………………………..(2分)
①  点 E 在射线 BC 边上,且交点 P 在对角线 AC 上时,连结 PB

∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB ＝ AD ，∠ BAP ＝∠ DAP 。
又∵ AP ＝ AP ，∴△ BAP ≌△ DAP （SAS）。
∴ PB ＝ PD
∵点 P 在 BE 的垂直平分线上
∴ PB=PE
∴ PE＝PD      
∵△ BAP ≌△ DAP， ∴ ∠DPA ＝ ∠APB.
又∵ ∠APB ＝180°－45° －∠ABP ＝135 ° －∠ABP，
∴ ∠DPA ＝135°－ ∠ABP。
又 ∵PE ＝ PB，∴∠BPE ＝180°－2 ∠PBE
∴ ∠DPE ＝360° －∠DPA－∠APB—∠BPE ＝360°－2（135° －∠ABP）
－180°+2∠ PBE  ＝360°－270°+2∠ ABP －180°+2∠ PBE =90°
∴ PE ⊥ PD                            ………………………..(3分)
② P、C 两点重合

                    ………………………..(4分)
③ 当点 E 在 BC 边的延长线上且点 P 在对角
线 AC 的延长线上时,连结 PB

同理可证∴△ BAP≌ △ DAP（SAS ）。
∴ PB=PD
∴ ∠PBA=∠PDA
∴ ∠PBE=∠PDC
∵点 P 在 BE 的垂直平分线上
∴ PB=PE
∴ ∠PBE=∠PEB
∴ ∠PDC=∠PEB
∴ ∠DFC=∠EFP
∴ ∠EPF =∠DCF= 90°
∴ PE ⊥ PD                 …………………………………………..(5分)
结论成立         
（3）（1）中的猜想不成立.               …………………………..(6分)
（4） ①当点 P 在线段 AC 上时
∵四边形 ABCD 是矩形， AB =6
∴ DC=AB= 6
∴∠ ABC=∠ADC= 90°
∵cos ∠ACD = 
∴ AD= 8 ，AC= 10
作 PQ ⊥ BC 于点 Q

∴ PQ∥AB
∴ =
∴ =
∴ BQ= x, ∴ BE= x, ∴ CE= x－ 8
∴△ CPQ∽△CAB
∴ =   ∴ =
∴ PQ= 6 - x
∴ y= EC×PQ
=( x －8)( 6 - x)
=- x ² + x- 24 ( 5< x <10 )           ……………………………..(7分)
②当点 P 在线段 AC 的延长线上时

∵ PQ∥AB
∴△ CPQ∽ △ CAB
∴

作业帮用户 2017-10-05

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