如图1，在边长为2的正方形ABCD中，P是对角线BD上的动点，点E在射线AD上，且PA=PE．（1）求证：PC=PE；（2）求∠EPC的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为边长为2的菱形ABCD，且∠ABC=120°，其他

Question

如图1，在边长为2的正方形ABCD中，P是对角线BD上的动点，点E在射线AD上，且PA=PE．
（1）求证：PC=PE；
（2）求∠EPC的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为边长为2的菱形ABCD，且∠ABC=120°，其他条件不变，连接CE，求AP•CE的最小值．

Answer 1

（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，

AB=BC

∠ABP=∠CBP

PB=PB

，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；

（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°；

（3）在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，
在△ABP和△CBP中，

AB=BC

∠ABP=∠CBP

PB=PB

，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴PC=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PC，
∴∠DAP=∠AEP，
∴∠DCP=∠AEP
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠AEP，
即∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE，
当AP•CE的值最小时，则AP最小，由垂线段最短可知当AP⊥BD时，AP最小，此时AP=√(AB2-BP2)=√(3)，
∴AP•CE的最小值=√(3)×√(3)=3．