如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．（1）当PC=CE时，求∠CDP的度数；（2）试用等式表示线段PB、BC、CE之间的数量关系，并证明．

Question

如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．

（1）当PC=CE时，求∠CDP的度数；
（2）试用等式表示线段PB、BC、CE之间的数量关系，并证明．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BCP=∠DCP=45°，∠BCD=∠DCE=90°，
∴∠PCE=45°+90°=135°，
在△BCP和△DCP中，

BC=DC

∠BCP=∠DCP

CP=CP

，
∴△BCP≌△DCP（SAS），
∴BP=DP，∠CBP=∠CDP，
∵PE=PB，PC=CE，
∴PD=PE，∠CBP=∠PEB=∠CPE=(1)/(2)（180°-135°）=22.5°，
∴∠CDP=22.5°；
（2）BC²+CE²=2PB²，理由如下：
连接DE，如图所示：
由（1）得：∠CBP=∠CDP，PD=PE，
∵PB=PE，
∴∠CBP=∠PEB，
∴∠CDP=∠PEB，
∴P、C、E、D四点共圆，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
由勾股定理得：DE²=CD²+CE²，DE²=PD²+PE²，
∵BC=CD，PB=PD=PE，
∴BC²+CE²=2PB²．