在三角形ABC中,AB=AC=5,BC=6,P是BC上的一个东点,(与B\C不重合),PE⊥AB与E,PF⊥BC交AC于F,设PC=X,记S△PEF=y.1)求Y关于X的函数关系式2)△PER能为直角三角形?若能,求出CP的长,若不能,也要说明理由.抱歉,是PE

Question

在三角形ABC中,AB=AC=5,BC=6,P是BC上的一个东点,(与B\C不重合),PE⊥AB与E,
PF⊥BC交AC于F,设PC=X,记S△PEF=y.
1)求Y关于X 的函数关系式
2)△PER能为直角三角形?若能,求出CP的长,若不能,也要说明理由.
抱歉,是PEF

Answer 1

1)
在等腰△ABC中,自A向BC作垂线交BC于D,可知CD=6/2=3.
所以SinB=SinC=SQRT(5^2-3^2)/5=4/5,cosB=cosC=3/5
sin∠BPE=sin∠CPF=cosB=cosC=3/5,cos∠BPE=cos∠CPF=sinB=sinC=4/5
[一个角的正(余)弦等于互余角的余(正)弦.]
所以PF=PC*sinC=x*4/5,PE=PB* sinB=(6-x)*4/5
因为∠B=∠C,所以∠BPE=∠CPF (等角的余角相等)
所以∠EPF=180度-∠BPE-∠CPF=180度-2∠CPF
所以,sin∠EPF=sin(180度-2∠CPF)=sin(2∠CPF)=2*sin∠CPF*cos∠CPF=2*3/5*4/5=24/25
所以△EPF的面积y=1/2*PE*PF*sin∠EPF=1/2*[(x*4/5)]*[(6-x)*(4/5)]*24/25=
(192/625)*x*(6-x)
即:y=(192/625)*x*(6-x)
2)
在Rt△CPF中,因为sin∠BPE=cosB=3/5