设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=2-Sn（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3，a4的值并写出其通项公式；（Ⅱ）用三段论证明数列{an}是等比数列．

Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=2-S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄的值并写出其通项公式；
（Ⅱ）用三段论证明数列{a_n}是等比数列．

Answer 1

（Ⅰ）由a_n=2-S_n，
当n=1时，a₁=2-S₁=2-a₁，解得：a₁=1，
当n=2时，a₂=2-S₂=2-a₁-a₂，解得：a₂=(1)/(2)，
当n=3时，a₃=2-S₃=2-a₁-a₂-a₃，解得：a₃=(1)/(4)，
当n=4时，a₄=2-S₄=2-a₁-a₂-a₄-a₄，解得：a₄=(1)/(8)，
…
由此归纳推理得：a_n=((1)/(2))n−1，（n∈N^*）． …（6分）
（Ⅱ）∵通项公式为a_n的数列{a_n}，
若(an+1)/(an)=p，p是非零常数，则{a_n}是等比数列；
因为通项公式a_n=((1)/(2))n−1，
又(an+1)/(an)=(1)/(2)；
所以通项公式a_n=((1)/(2))n−1的数列{a_n}是等比数列．…（12分）