已知数列{an}是首项与公比均为13的等比数列，数列{bn}的前n项和Bn＝12(n2+n)，n∈N*．（1）求数列{an}与数列{bn}的通项公式；（2）设{anbn}的前n项和为Sn，求证：13≤Sn＜34．

Question

已知数列{a_n}是首项与公比均为(1)/(3)的等比数列，数列{b_n}的前n项和Bn＝(1)/(2)(n2+n)，n∈N*．
（1）求数列{a_n}与数列{b_n}的通项公式；
（2）设{a_nb_n}的前n项和为S_n，求证：(1)/(3)≤Sn＜(3)/(4)．

Answer 1

（1）由{a_n}是首项与公比均为(1)/(3)的等比数列，得an＝(1)/(3)•((1)/(3))n−1＝(1)/(3n)
在数列{b_n}中，Bn＝(1)/(2)(n2+n)，
当n=1时，b₁=B₁=1，
当n≥2时，b_n=B_n-B_n-1=(1)/(2)(n2+n)−(1)/(2)[(n−1)2+(n−1)]＝n，
即b_n=n，
∴an＝(1)/(3n)，bn＝n，n∈N*
（2）由（1）知，anbn＝(n)/(3n)，
∴Sn＝(1)/(3)+(2)/(3n)+…+(n)/(3n)，①
∴(1)/(3)Sn＝(1)/(32)+(2)/(33)+…+(n)/(3n+1)，②
①-②得，(2)/(3)Sn＝(1)/(3)+(1)/(32)+…+(1)/(3n)−(n)/(3n+1)＝((1)/(3)(1−(1)/(3n)))/(1−(1)/(3))−(n)/(3n+1作业帮用户2017-11-13举报问题解析（1）已知数列{an}是首项与公比均为(1)/(3)的等比数列，可以求出an的通项公式，利用公式bn=Bn-Bn-1，可以求出bn的通项公式；（2）已知an，bn的通项公式可得anbn＝(n)/(3n)，可以利用错位相减法求出其前n项和Sn，再进行放缩证明；名师点评本题考点：数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．考点点评：此题主要考查数列与不等式的综合，解题过程中用到了错位相减法，这也是高考常用的方法，是一道中档题；扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)