已知空间直角坐标系内ABCD四点坐标,判断他们是否共面A（2,3,1）B（4,1,-2）C（6,3,7）、D(6,3,7)

Question

已知空间直角坐标系内ABCD四点坐标,判断他们是否共面
A（2,3,1）B（4,1,-2）C（6,3,7）、D(6,3,7)

Answer 1

已知空间直角坐标系内ABCD四点坐标,判断他们是否共面,A（2,3,1）；B（4,1,-2）；
C（6,3,7）；D(6,3,7).
过其中任意三点作一平面,再看第四点是否在此平面上；若在,则四点共面；若不在,则
四点不共面.
设过A,B,C三点的平面方程依次为：
A(x-2)+B(y-3)+C(z-1)=0.(1)
A(x-4)+B(y-1)+C(z+2)=0.(2)
A(x-6)+B(y-3)+C(z-7)=0.(3)
将三式展开,把不含x,y,z的项移至右边,便得：
2A+3B+C=4A+B-2C=6A+3B+7C=-D
于是得：
2A-2B-3C=0.(4)
4A+6C=0,即2A+3C=0.(5)
(4)+(5)得4A-2B=0,故2A=B=-3C,取C=-2,则B=6,A=3,D=-(6+18-2)=-22,
于是得过A,B,C三点的平面方程为：
3x+6y-2z-22=0.(6)
将D(6,3,7)的坐标代入得：18+18-14-22=0,故D在平面(6)上,∴A,B,C,D,四点共面.