帮忙解决一道矩阵的问题!谢谢了.已知三元非齐次线性方程组Ax=b,A的秩r(A)=1.a1,a2,a3是该线性方程组的三个解向量,且a1+a2=(-1,0,1)^T,a2+a3=(1,3,5)^T,a3+a1=(2,1,2)^T,则该齐次非线性方程组的通解为?说一

Question

帮忙解决一道矩阵的问题!谢谢了.
已知三元非齐次线性方程组 Ax=b,A的秩r(A)=1.a1,a2,a3是该线性方程组的三个解向量,且a1+a2=(-1,0,1)^T,a2+a3=(1,3,5)^T,a3+a1=(2,1,2)^T,则该齐次非线性方程组的通解为? 说一下详细的过程.谢谢!

Answer 1

因为 r(A)=1.所以AX=0的基础解系含 3-r(A)=2 个解向量.
因为 a1,a2,a3是AX=b的解,所以
a3-a1=(a2+a3)-(a1+a2)=(2,3,4)^T
a3-a2=(a3+a1)-(a1+a2)=(3,1,1)^T
是AX=0的解.
又由于 (2,3,4)^T,(3,1,1)^T 线性无关,所以是AX=0的基础解系.
而 (1/2)(a1+a2)=(-1/2,0,1/2)^T 是AX=b的解
所以AX=b的通解为:(-1/2,0,1/2)^T + c1(2,3,4)^T+c2(3,1,1)^T.