设齐次线性方程组:设齐次线性方程组a11x1+a12x2+...+a1nxn=0a21x1+a22x2+...+a2nxn=0.an1x1+an2x2+...+annxn=0的系数矩阵A=(aij)mn的行列式|A|=0,aij的代数余子式Aij不等于0.证明(Ai1,Ai2……Ain)是齐次线性方程组的

Question

设齐次线性方程组:
设齐次线性方程组
a11x1+a12x2+...+a1nxn=0
a21x1+a22x2+...+a2nxn=0
.
an1x1+an2x2+...+annxn=0的系数矩阵A=(aij)mn的行列式|A|=0,aij的代数余子式Aij不等于0.
证明(Ai1,Ai2……Ain)是齐次线性方程组的基础解系.

Answer 1

因为 |A| = 0
所以 r(A)=1
所以 r(A)=n-1
所以 Ax=0 的基础解系含 n-r(A) = 1 个解向量
再由 AA* = |A|E = 0 知 A* 的列向量都是 Ax=0 的解
所以 (Ai1,Ai2……Ain)是 Ax = 0 的基础解系.