在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1=2x2+14的顶点为M，直线y2=x，点P（n，0）为x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线y1=2x2+14和直线y2=x于点A，点B．

Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y ₁ =2x ² + (1)/(4) 的顶点为M，直线y ₂ =x，点P（n，0）为x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线y ₁ =2x ² + (1)/(4) 和直线y ₂ =x于点A，点B．
（1）直接写出A，B两点的坐标（用含n的代数式表示）；
（2）设线段AB的长为d，求d关于n的函数关系式及d的最小值，并直接写出此时线段OB与线段PM的位置关系和数量关系；
（3）已知二次函数y=ax ² +bx+c（a，b，c为整数且a≠0），对一切实数x恒有x≤y≤2x ² + (1)/(4) ，求a，b，c的值．

Answer 1

（1）当x=n时，y ₁ =2n ² + (1)/(4) ，y ₂ =n；
∴A（n，2n ² + (1)/(4) ），B（n，n）．

（2）d=AB=|y _A -y _B |=|2n ² -n+ (1)/(4) |．
∴d=|2（n- (1)/(4) ） ² + (1)/(8) |=2（n- (1)/(4) ） ² + (1)/(8) ．
∴当n= (1)/(4) 时，d取得最小值 (1)/(8) ．
此时，B（ (1)/(4) ， (1)/(4) ），而M（0， (1)/(4) ）、P（ (1)/(4) ，0）
∴四边形OMBP是正方形
∴当d取最小值时，线段OB与线段PM的位置关系和数量关系是OB⊥PM且OB=PM．（如图）

（3）∵对一切实数x恒有x≤y≤2x ² + (1)/(4) ，
∴对一切实数x，x≤ax ² +bx+c≤2x ² + (1)/(4) 都成立．（a≠0）①
当x=0时，①式化为0≤c≤ (1)/(4) ．
∴整数c的值为0．
此时，对一切实数x，x≤ax ² +bx≤2x ² + (1)/(4) 都成立．（a≠0）
即

x≤a x 2 +bx②

a x 2 +bx≤2 x 2 +(1)/(4) ③

对一切实数x均成立．
由②得ax ² +（b-1）x≥0（a≠0）对一切实数x均成立．
∴

a＞0④

△ 1 = (b-1) 2 ≤0⑤

由⑤得整数b的值为1．
此时由③式得，ax ² +x≤2x ² + (1)/(4) 对一切实数x均成立．（a≠0）
即（2-a）x ² -x+ (1)/(4) ≥0对一切实数x均成立．（a≠0）
当a=2时，此不等式化为-x+ (1)/(4) ≥0，不满足对一切实数x均成立．
当a≠2时，∵（2-a）x ² -x+ (1)/(4) ≥0对一切实数x均成立，（a≠0）
∴

2-a＞0⑥

△ 2 = (-1) 2 -4×(2-a)×(1)/(4) ≤0⑦

∴由④，⑥，⑦得0＜a≤1．
∴整数a的值为1．
∴整数a，b，c的值分别为a=1，b=1，c=0．