一道数学题谁知道啊已知多项式x^3+b（x^2）+cx+d的系数都是整数,bd+cd是奇数,证明这个多项式不能因式分解为2个整系数多项式的乘积．

Question

一道数学题谁知道啊
已知多项式x^3+b（x^2）+cx+d的系数都是整数,bd+cd是奇数,证明这个多项式不能因式分解为2个整系数多项式的乘积．

Answer 1

证：用反证法.假设这个多项式能表示成2个整系数多项式的乘积.
所以设x^3+b（x^2）+cx+d恒等于（x^2+mx+n）（x+p）
则x^3+b（x^2）+cx+d恒等于x^3+(m+p)x^2+(n+mp)x+np
因为恒等式同次项系数相等,
所以np=d
因为bd+cd是奇数 所以（b+c）d是奇数
又因b,c,d都是整数,所以(b+c)和d都是奇数.
既然d是奇数,那么n,p一定都是奇数
在从那个恒等式看,得到：
b+c=m+p+n+mp （因为b=m+p,c=n+mp）
=(p+1)m+(n+p)
p是奇数,所以p+1是偶数,所以(p+1)m是偶数.
又n,p都是奇数,所以n+p是偶数
所以(p+1)m+(n+p)是偶数
所以b+c是偶数
与前边的b+c是奇数矛盾
所以假设不成立
所以这个多项式不能因式分解为两个整系数多项式的乘积.
证毕